Retroceso de fase

El retroceso de fase (phase kickback en inglés) es un fenómeno de vital importancia en la computación cuántica, el cual es utilizado en una gran cantidad de algoritmos, tales como el algoritmo de Deutsch, la estimación de fase, el algoritmo de Grover, entre otros.

Este fenómeno consiste en el traslado del resultado de una función a la fase de un estado cuántico para que pueda ser manipulado mediante interferencias y alcanzar un resultado determinado. Dicho proceso ocurre cuando el autovalor agregado por una puerta cuántica a un cubit es desplazado hacia un cubit diferente utilizando una operación de control.

La idea del retroceso de fase es muy útil, ya que puede utilizarse para aplicar rotaciones de fase sobre valores específicos en un registro de cubits. Esto puede realizarse aplicando una rotación de fase en algún otro registro condicionado por cubits que pertenecen al registro que nos interesa. Es posible elegir dichos cubits para seleccionar específicamente los valores que se quieren rotar.

Puede verse la acción del retroceso de fase en la definición del oráculo de fase, donde el cubit $\ket{x}$ es multiplicado por una fase $(-1)^{f(x)}$ .

Ejemplo: Retroceso de fase sobre puertas CNOT

Como se ve en oráculo de fase, aplicar una puerta $X$ sobre un cubit $\ket{-}$ retorna la fase $-1$ .

X\ket{-} = -\ket{-}

Cuando un cubit de control está en $\ket{0}$ o $\ket{1}$ , dicha fase afecta al estado completo, sin embargo es una fase global y no tiene efectos observables.

\begin{align} CNOT\ket{-0} & = \ket{-} \otimes \ket{0}\\ & = \ket{-0} \end{align}

\begin{align} CNOT\ket{-1} & = X\ket{-} \otimes \ket{1}\\ & = -\ket{-} \otimes \ket{1}\\ & = -\ket{-1} \end{align}

El efecto interesante ocurre cuando el cubit de control se encuentra en un estado de superposición. El componente del cubit de control que se encuentra en la dirección del $\ket{1}$ aplica este factor de fase al cubit objetivo correspondiente. Dicho factor de fase aplicado termina introduciendo una fase relativa en el cubit de control:

\begin{align} CNOT\ket{-+} & = \frac{1}{\sqrt{2}}(CNOT\ket{-0} + CNOT\ket{-1})\\ CNOT\ket{-+} & = \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{-0} + X\ket{-1})\\ CNOT\ket{-+} & = \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{-0} - \ket{-1}) \end{align}

Lo cual puede escribirse como dos estados de cubits separados:

\begin{align} CNOT\ket{-+} & = \ket{-} \otimes \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{0} - \ket{1})\\ CNOT\ket{-+} & = \ket{--} \end{align}

Por lo tanto, involucrar el operador $CNOT$ con puertas Hadamard transforma los cubits de la base Z $\{\ket{0}, \ket{1}\}$ a la base X $\{\ket{+}, \ket{-}\}$ , donde se percibe dicho efecto. Este procesamiento es muy útil en hardware, ya que algunos dispositivos solamente permiten operaciones $CNOT$ en una dirección entre dos cubits concretos. Puede aprovecharse el retroceso de fase para superar este problema y permitir $CNOT$ en ambas direcciones.