Puertas en Eje Y

Este artículo se centra en un conjunto específico de puertas que actúan sobre el eje $Y$.

Primero se explorará la puerta Pauli-Y, luego la puerta RotY que la generaliza y, por último, se hace mención a su variante condicional.

Pauli-Y

La puerta Pauli-Y (o simplemente Y) nombrada por el físico Wolfgang Pauli, al aplicarse, realiza una rotación de $\pi$ radianes (o 180 grados) a través del eje $y$ de la esfera de Bloch.

En forma de matriz se ve de la siguiente manera:

$$Y=\begin{bmatrix} 0&-i\\ i&0\\ \end{bmatrix}$$

La versión general de la aplicación de la puerta es la siguiente:

$$\begin{bmatrix} 0&-i\\ i&0\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha\\ \beta \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} -i\beta\\ i\alpha \end{bmatrix} = -i \begin{bmatrix} \beta\\ -\alpha \end{bmatrix}$$

Por lo que intercambia las amplitudes entre los estados base $\ket{0}$ y $\ket{1}$ y le aplica un cambio a la fase relativa de $\pi$ radianes. Es decir, es equivalente a aplicar en conjunto Pauli-X seguido por Pauli-Z, o al revés.

Ejemplos

Quirk

La puerta $r^t$ genera un estado aleatorio que cambia según el tiempo.

Dirac

A continuación se detallarán las pruebas matemáticas de las conversiones de un estado base a otro utilizando la puerta Pauli-Y.

$\ket{0} \overset{Y}{\rightarrow} \ket{1}$

$$\begin{align} Y\ket{0}&=\begin{bmatrix} 0&-i\\ i&0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} 0\\ i \end{bmatrix}\\ &=i\ket{1}=\ket{1} \end{align}$$

$\ket{1} \overset{Y}{\rightarrow} \ket{0}$

$$\begin{align} Y\ket{1}&=\begin{bmatrix} 0&-i\\ i&0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} -i\\ 0 \end{bmatrix}\\ &=-i\ket{0}=\ket{0} \end{align}$$

$\ket{+} \overset{Y}{\rightarrow} \ket{-}$

$$\begin{align} Y\ket{+}&=\begin{bmatrix} 0&-i\\ i&0 \end{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}\\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 0&-i\\ i&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}\\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} -i\\ i \end{bmatrix}\\ &= (-i)\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1\\ -1 \end{bmatrix}\\ &=-i\ket{-}=\ket{-} \end{align}$$

$\ket{-} \overset{Y}{\rightarrow} \ket{+}$

$$\begin{align} Y\ket{-}&=\begin{bmatrix} 0&-i\\ i&0 \end{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1\\ -1 \end{bmatrix}\\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 0&-i\\ i&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1\\ -1 \end{bmatrix}\\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} i\\ i \end{bmatrix}\\ &= (i)\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1\\1 \end{bmatrix}\\ &=i\ket{+}=\ket{+} \end{align}$$

Notar que en todas estas ocasiones se elimina $i$ e $-i$ respectivamente, ya que aplican una fase global que no es medible al leer el estado.

Círculos

Aplicando $Y$ en $\ket{0}$

$$\ket{0}$$

$$\ket{1}$$

$\overset{Y}{\rightarrow}$

$$\ket{0}$$

$$\ket{1}$$

Aplicando $Y$ en $\ket{1}$

$$\ket{0}$$

$$\ket{1}$$

$\overset{Y}{\rightarrow}$

$$\ket{0}$$

$$\ket{1}$$

Aplicando $Y$ en $\ket{+}$

$$\ket{0}$$

$$\ket{1}$$

$\overset{Y}{\rightarrow}$

$$\ket{0}$$

$$\ket{1}$$

Aplicando $Y$ en $\ket{-}$

$$\ket{0}$$

$$\ket{1}$$

$\overset{Y}{\rightarrow}$

$$\ket{0}$$

$$\ket{1}$$

Qiskit

from qiskit import QuantumCircuit
qc = QuantumCircuit(1)
qc.y(0) # aplica la puerta Y al qubit 0

RotY

Es la generalización de la puerta anterior. Aplica una rotación en el eje $Y$ de la esfera de Bloch pero con la rotación especificada. Imitar el comportamiento de la puerta Pauli-Y implica aplicar una RotY con $\pi$ radianes de rotación.

Esta puerta permite abstraerse de ángulos fijos, permitiendo una mayor libertad de aplicación.

En forma de matriz se puede observar de la siguiente manera:

$$RotY(\theta)= \begin{bmatrix} cos\left(\frac{\theta}{2}\right)&- sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\\ sin\left(\frac{\theta}{2}\right)&cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \end{bmatrix}$$

Ejemplos

Quirk

Qiskit

from qiskit import QuantumCircuit
import numpy as np
pi = np.pi
qc = QuantumCircuit(1)
qc.ry(pi, 0) # aplica una rotacion de pi al qubit 0 en el eje y

Variante condicional

La variante condicional es conocida como CY. Los puntos negros representan que la puerta Y se activa con $1$, mientras que los puntos blancos o sin relleno implican que la puerta Y se activa con $0$.

Quirk

Qiskit

Código

from qiskit import QuantumCircuit
from qiskit.circuit.library import CYGate
qc = QuantumCircuit(3)
qc.cy(0, 1) # condicion en 0, objetivo en 1
qc.barrier()
toff_y=CYGate().control(1)
qc.append(toff_y,[0,2,1]) # condicion en 0 y 2, objetivo en 1
print(qc)

Resultado

           ░
q_0: ──■───░───■──
     ┌─┴─┐ ░ ┌─┴─┐
q_1: ┤ Y ├─░─┤ Y ├
     └───┘ ░ └─┬─┘
q_2: ──────░───■──
           ░

Más información

Bibliografía:

Recomendada

Alternativa

Opcional

Libro

Capítulo 2.6.3, Introduction to Classical and Quantum Computing (Thomas G. Wong) [Inglés]

Video

Quantum Computing Course: 1.4 Manipulating a Qubit with Single Qubit Gates (Quantum Soar) [Inglés]

Libro

Capítulo 2, Programming Quantum Computers: Essential Algorithms and Code Samples (O'Reilly Media) [Inglés]