Puertas en Eje Z

Este artículo se centra en un conjunto específico de puertas que actúan sobre el eje $Z$.

Primero se explorará la puerta Pauli-Z, luego la puerta RotZ que la generaliza y que permite definir las puertas S y T. Por último, se hace mención a sus variantes condicionales.

Pauli-Z

La puerta Pauli-Z (o simplemente Z) nombrada por el físico Wolfgang Pauli, al aplicarse, realiza una rotación de $\pi$ radianes (o 180 grados) a traves del eje $Z$ de la esfera de Bloch.

En forma de matriz se ve de la siguiente manera:

$$Z=\begin{bmatrix} 1&0\\ 0&-1\\ \end{bmatrix}$$

La versión general de la aplicación de la puerta es la siguiente:

$$\begin{bmatrix} 1&0\\ 0&-1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha\\ \beta \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \alpha\\ -\beta \end{bmatrix}$$

Se dice que Pauli-Z aplica una fase relativa de $\pi$ radianes.

Ejemplos

Quirk

Dirac

A continuación se detallarán las pruebas matemáticas de las conversiones de un estado base a otro utilizando la puerta Pauli-Z.

$\ket{0} \overset{Z}{\rightarrow} \ket{0}$

$$\begin{align} Z\ket{0}&= \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix} =\ket{0} \end{align}$$

$\ket{1} \overset{Z}{\rightarrow} \ket{1}$

$$\begin{align} Z\ket{1}&= \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix} =\ket{1} \end{align}$$

$\ket{+} \overset{Z}{\rightarrow} \ket{-}$

$$\begin{align} Z\ket{+}&= \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}\\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}\\ &=\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1\\ -1 \end{bmatrix}=\ket{-} \end{align}$$

$\ket{-} \overset{Z}{\rightarrow} \ket{+}$

$$\begin{align} Z\ket{-}&= \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1\\ -1 \end{bmatrix}\\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1\\ -1 \end{bmatrix}\\ &=\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}=\ket{+} \end{align}$$

Círculos

Aplicando $Z$ en $\ket{0}$

$$\ket{0}$$

$$\ket{1}$$

$\overset{Z}{\rightarrow}$

$$\ket{0}$$

$$\ket{1}$$

Aplicando $Z$ en $\ket{1}$

$$\ket{0}$$

$$\ket{1}$$

$\overset{Z}{\rightarrow}$

$$\ket{0}$$

$$\ket{1}$$

Aplicando $Z$ en $\ket{+}$

$$\ket{0}$$

$$\ket{1}$$

$\overset{Z}{\rightarrow}$

$$\ket{0}$$

$$\ket{1}$$

Aplicando $Z$ en $\ket{-}$

$$\ket{0}$$

$$\ket{1}$$

$\overset{Z}{\rightarrow}$

$$\ket{0}$$

$$\ket{1}$$

Qiskit

from qiskit import QuantumCircuit
qc = QuantumCircuit(1)
qc.z(0) # aplica la puerta Z al qubit 0

RotZ, S y T

Es la generalización de la puerta anterior. Aplica una rotación en el eje $Z$ de la esfera de Bloch pero con la rotación especificada. Imitar el comportamiento de la puerta Pauli-Z implica aplicar una RotZ con $\pi$ radianes de rotación. La puerta S por otro lado es con $\pi/2$ radianes de rotación y T con $\pi/4$ radianes de rotación.

Esta puerta permite abstraerse de ángulos fijos, permitiendo una mayor libertad de aplicación.

En forma de matriz se puede observar de la siguiente manera, siendo $\theta$ un valor en radianes:

$$RotZ(\theta)= \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&e^{i\theta} \end{bmatrix}$$

Por lo que definimos Z, S y T de la siguiente manera:

$$\begin{align} Z&=RotZ(\pi)=\begin{bmatrix} 1&0\\ 0&e^{i\pi} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{bmatrix}\\ S&=RotZ(\pi/2)=\begin{bmatrix} 1&0\\ 0&e^{i\pi/2} \end{bmatrix}\\ T&=RotZ(\pi/4)=\begin{bmatrix} 1&0\\ 0&e^{i\pi/4} \end{bmatrix} \end{align}$$

Por otra parte, la inversa de estas puertas es equivalente a aplicar el ángulo opuesto (e.g $RotZ(-\pi)$ en el caso de Z).

Ejemplos

Quirk

Qiskit

from qiskit import QuantumCircuit
import numpy as np
pi = np.pi
qc = QuantumCircuit(1)
qc.rz(pi, 0) # aplica una rotacion de pi al qubit 0 en el eje z

Variante condicional

La variante condicional es conocida como CZ, los puntos negros representan que la puerta Z se activa con $1$, mientras que los puntos blancos o sin relleno implican que la puerta Z se activa con $0$. Otro aspecto a tener en cuenta es que la puerta CZ se aplica tanto en el control como en el objetivo.

Quirk

Qiskit

Código

from qiskit import QuantumCircuit
from qiskit.circuit.library import CZGate
qc = QuantumCircuit(3)
qc.cz(0, 1) # condicion en 0, objetivo en 1
qc.barrier()
toff_z=CZGate().control(1)
qc.append(toff_z,[0,2,1]) # condicion en 0 y 2, objetivo en 1
print(qc)

Resultado

         ░
q_0: ─■──░──■─
      │  ░  │
q_1: ─■──░──■─
         ░  │
q_2: ────░──■─
         ░

Nota

Esta representación con los puntos sin indicar que es la puerta Z es una notación común, debido a la particularidad de que se aplica tanto en el control como en el objetivo.

Más información

Bibliografía:

Recomendada

Alternativa

Opcional

Libro

Capítulo 2.6.3, Introduction to Classical and Quantum Computing (Thomas G. Wong) [Inglés]

Video

Quantum Computing Course: 1.4 Manipulating a Qubit with Single Qubit Gates (Quantum Soar) [Inglés]

Video

Quantum Computing Course: 1.7 The Phase Gates (S and T gates) (Quantum Soar) [Inglés]

Libro

Capítulo 2, Programming Quantum Computers: Essential Algorithms and Code Samples (O'Reilly Media) [Inglés]