Puerta Hadamard

La puerta Hadamard lleva su nombre en honor a Jacques Hadamard. Esta puerta actúa en un solo cubit y permite crear superposiciones.

La puerta en forma de matriz tiene la siguiente forma:

$$H=\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1&1\\ 1&-1 \end{bmatrix}$$

Generalización de la operación

Un aspecto a tener en cuenta es que la inversa de la puerta Hadamard es la propia Hadamard. Esto implica que aplicar dos veces Hadamard resultaría en una identidad.

Ejemplos

Quirk

Dirac

A continuación se detallarán las pruebas matemáticas de las conversiones de un estado base a otro utilizando la puerta Hadamard.

$\ket{0} \overset{H}{\rightarrow} \ket{+}$

Prueba:

$$\begin{align} H\ket{0} = & \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1&1\\ 1&-1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}\\ =& \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}\\ =& \frac{1}{\sqrt{2}} \left(\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}\right)\\ =& \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}+ \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}\\ =& \frac{1}{\sqrt{2}}\ket{0}+ \frac{1}{\sqrt{2}}\ket{1}\\ =&\ket{+} \end{align}$$

$\ket{1} \overset{H}{\rightarrow} \ket{-}$

Prueba:

$$\begin{align} H\ket{1} = & \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1&1\\ 1&-1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}\\ =& \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1\\ -1 \end{bmatrix}\\ =& \frac{1}{\sqrt{2}} \left(\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}- \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}\right)\\ =& \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}- \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}\\ =& \frac{1}{\sqrt{2}}\ket{0}- \frac{1}{\sqrt{2}}\ket{1}\\ =&\ket{-} \end{align}$$

$\ket{+} \overset{H}{\rightarrow} \ket{0}$

Prueba:

$$\begin{align} H\ket{+}=& \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1&1\\ 1&-1 \end{bmatrix}\left( \frac{1}{\sqrt{2}}\ket{0}+ \frac{1}{\sqrt{2}}\ket{1} \right)\\ =& \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1&1\\ 1&-1 \end{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix} \right)\\ =& \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1&1\\ 1&-1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}\\ =& \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 2\\ 0 \end{bmatrix}\\ =& \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}\\ =&\ket{0} \end{align}$$

$\ket{-} \overset{H}{\rightarrow} \ket{1}$

Prueba:

$$\begin{align} H\ket{-}=& \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1&1\\ 1&-1 \end{bmatrix}\left( \frac{1}{\sqrt{2}}\ket{0}- \frac{1}{\sqrt{2}}\ket{1} \right)\\ =& \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1&1\\ 1&-1 \end{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}- \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix} \right)\\ =& \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1&1\\ 1&-1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1\\ -1 \end{bmatrix}\\ =& \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 0\\ 2 \end{bmatrix}\\ =& \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}\\ =&\ket{1} \end{align}$$

Círculos

Aplicando a $\ket{0}$

$$\ket{0}$$

$$\ket{1}$$

$\overset{H}{\rightarrow}$

$$\ket{0}$$

$$\ket{1}$$

Aplicando a $\ket{1}$

$$\ket{0}$$

$$\ket{1}$$

$\overset{H}{\rightarrow}$

$$\ket{0}$$

$$\ket{1}$$

Aplicando a $\ket{+}$

$$\ket{0}$$

$$\ket{1}$$

$\overset{H}{\rightarrow}$

$$\ket{0}$$

$$\ket{1}$$

Aplicando a $\ket{-}$

$$\ket{0}$$

$$\ket{1}$$

$\overset{H}{\rightarrow}$

$$\ket{0}$$

$$\ket{1}$$

Qiskit

from qiskit import QuantumCircuit
qc = QuantumCircuit(1)
qc.h(0) # aplica la puerta Hadamard al qubit 0

Como curiosidad, la puerta Hadamard posee una relación con la transformada de Fourier. Se prueba que $F_2=H$:

$$F_2=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1&1\\ 1&w_2\\ \end{bmatrix}=\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1&1\\ 1&e^{2\pi i/2} \end{bmatrix}= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1&1\\ 1&-1\\ \end{bmatrix}=H \\$$

Variante condicional

La variante condicional de Hadamard es llamada CH.

Los puntos negros representan que la puerta H se activa con $1$, mientras que los puntos blancos o sin relleno implican que la puerta H se activa con $0$.

Ejemplos

Quirk

Dirac

$$CH\ket{10}=\ket{1+}\\ CH\ket{1+}=\ket{10}\\ CH\ket{11}=\ket{1-}\\ CH\ket{1-}=\ket{11}\\ CH\ket{00}=\ket{00}\\ CH\ket{0+}=\ket{0+}\\ CH\ket{01}=\ket{01}\\ CH\ket{0-}=\ket{0-}\\$$

Más información

Bibliografía:

Recomendada

Alternativa

Opcional

Libro

Capítulo 2.6.3, Introduction to Classical and Quantum Computing (Thomas G. Wong) [Inglés]

Video

Quantum Computing Course: 1.6 The Hadamard Gate and the +, -, i and -i States (Quantum Soar) [Inglés]

Libro

Capítulo 2, Programming Quantum Computers: Essential Algorithms and Code Samples (O'Reilly Media) [Inglés]