Teorema de no clonación

En la computación clásica es fácil copiar información leyendo cada bit y escribiéndolo en otra parte. En la computación cuántica, clonar cubits es más complicado. Supóngase que se dispone de un cubit en un estado de superposición. Si se mide en base Z, se obtiene $\ket{0}$ o $\ket{1}$ con cierta probabilidad. De esta manera, no puede observarse el estado de superposición. Además, la medición colapsa el estado a $\ket{0}$ o $\ket{1}$, lo que significa que se pierde el estado que se tenía inicialmente.

Notar que si se tiene un cubit en un estado cuántico conocido, como por ejemplo $\ket{+}$, pueden producirse copias adicionales recurriendo a las puertas que producen dicho estado:

$$\ket{+}\ket{0} \overset{I \otimes H}{\longrightarrow} \ket{+}\ket{+}$$

Así, en lugar de tener una copia ahora se tienen dos. Por lo tanto, no hay inconvenientes cuando se quiere copiar un estado cuántico conocido. El problema surge cuando quiere copiarse un estado cuántico desconocido. Supóngase que se dispone de un cubit en un estado desconocido $\ket{\psi} = \alpha\ket{0} + \beta\ket{1}$, a partir del cual quiere hacerse una copia:

$$\ket{\psi}\ket{0} \longrightarrow \ket{\psi}\ket{\psi}$$

Asumiendo que existe una operación unitaria $U$ que es capaz de clonar los cubits en dos estados posibles $\ket{\psi}$ y $\ket{\phi}$. Esto es,

$$U\ket{\psi}\ket{0} = \ket{\psi}\ket{\psi}\\ U\ket{\phi}\ket{0} = \ket{\phi}\ket{\phi}$$

Al realizar el producto interior de las dos ecuaciones previas, se obtiene:

$$\begin{align} \bra{\psi}\bra{0}U^\dagger U\ket{\phi}\ket{0}&=&\bra{\psi}\bra{\psi}\ket{\phi}\ket{\phi}\\ \bra{\psi}\bra{0}\ket{\phi}\ket{0}&=&\bra{\psi}\bra{\psi}\ket{\phi}\ket{\phi}\\ \bra{\psi}\ket{\phi}\bra{0}\ket{0}&=&\bra{\psi}\ket{\phi}\bra{\psi}\ket{\phi}\\ \bra{\psi}\ket{\phi}&=&(\bra{\psi}\ket{\phi})^2 \end{align}$$

Para que $\bra{\psi}\ket{\phi}$ sea equivalente a su cuadrado, el resultado debe ser $0$ o $1$. Esto se da únicamente cuando $\ket{\psi} = \ket{\phi}$ o cuando $\ket{\psi}$ y $\ket{\phi}$ son ortogonales. Por lo tanto, un dispositivo de clonación puede clonar únicamente estados que son ortogonales entre sí, y en consecuencia un dispositivo de clonación cuántico general es imposible. Un potencial clonador cuántico no puede, por ejemplo, clonar los estados $\ket{\psi} = \ket{0}$ y $\ket{\phi} = (\ket{0} + \ket{1})/\sqrt{2}$, ya que estos estados no son ortogonales. De esta manera queda demostrado que es imposible clonar perfectamente un estado cuántico desconocido utilizando una evolución unitaria.

Este resultado es conocido como el teorema de no clonación.

Más información

Bibliografía:

Recomendada

Alternativa

Opcional

Libro

Capítulo 4.4.4, Introduction to Classical and Quantum Computing (Thomas G. Wong) [Inglés]

Video

Quantum Circuits | Understanding Quantum Information & Computation - Lesson 03 (Qiskit) [Inglés]

Libro

Capítulo 12.1.1, Quantum Computation and Quantum Information (Michael A. Nielsen; Isaac L. Chuang) [Inglés]

Video

Quantum Computing Course: 3.2.B Quantum Functions (Quantum Soar) [Inglés]